Topologia ilorazowa

Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologia^[a] określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie ilorazowe^[b] jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee Moore^[1] oraz Paweł Aleksandrow^[2].

Definicje

Zobacz też: przestrzeń topologiczna, relacja równoważności i ciągłość.

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $\sim$ oznacza pewną relację równoważności określoną na $X.$ Niech $\pi \colon X\to X/_{\sim }$ oznacza odwzorowanie ilorazowe zbioru $X$ w zbiór ilorazowy $X/_{\sim }$ dane wzorem $x\mapsto [x]_{\sim }$ nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.

Rodzinę zbiorów

\tau /_{\sim }={\big \{}U\subseteq X/_{\sim }\colon \pi ^{-1}(U)\in \tau {\big \}},

tworzącą topologię w zbiorze $X/_{\sim },$ nazywa się topologią ilorazową przestrzeni $(X,\tau )$ względem relacji $\sim ,$ z kolei zbiór $X/_{\sim }$ z topologią ilorazową $\tau /_{\sim }$ nazywa się przestrzenią ilorazową $(X/_{\sim },\tau /_{\sim }).$

Jeżeli $A\subseteq X$ oraz relacja $\sim$ utożsamia ze sobą punkty zbioru $A,$ tzn. $x,y\in X$ jest $x\sim y\iff x=y\lor x,y\in A,$ to przestrzeń ilorazową $X/_{\sim }$ nazywa się przestrzenią otrzymaną z $X$ przez sklejenie zbioru $A$ do punktu i oznacza symbolem $X/A.$

Własności

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $\sim$ będzie relacją równoważności w zbiorze $X.$ Wówczas

zbiór $F$ jest domknięty w przestrzeni ilorazowej $X/_{\sim }$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\pi ^{-1}(F)$ jest domkniętym podzbiorem $X;$
przekształcenie $f\colon X/_{\sim }\to Y$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f\circ \pi \colon X\to Y$ jest ciągłe;
jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami Hausdorffa, zaś $g\colon X\to Y$ takim ciągłym i odwzorowaniem „na”, że $g(x)=g(y)\iff x\sim y$ oraz dla pewnego zbioru zwartego $K\subseteq X$ jest $\pi (K)=X/_{\sim },$ to odwzorowanie $f\colon X/_{\sim }\to Y$ dane wzorem $f([x]_{\sim })=g(x)$ jest homeomorfizmem.

Jeżeli $A$ jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni $X$ przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n},$ to przestrzeń $X/A$ można zanurzyć w $\mathbb {R} ^{n+1};$ bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory $X$ oraz $A,$ dla których przestrzeń $X/A$ jest niemetryzowalna.

Przykłady

Przestrzeń ilorazowa $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ określona na prosta rzeczywistej $\mathbb {R}$ (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ przez podgrupę liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ ^[c] jest tożsama z przestrzenią $\mathbb {R} /_{\backsim }$ wyznaczoną przez relację równoważności $\backsim$ zdefiniowaną dla dowolnych $a,b\in \mathbb {R}$ warunkiem $a\backsim b\iff a-b\in \mathbb {Z} .$ Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym ${\mathcal {S}}^{1}$ na płaszczyźnie euklidesowej^[d].

Przestrzeń ilorazowa $\mathbb {R} /\mathbf {Z}$ określona na $\mathbb {R}$ (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych $\mathbf {Z}$ jest różna od wyżej opisanej przestrzeni $\mathbb {R} /\mathbb {Z} {:}$ przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności $\sim$ zdefiniowanej dla dowolnych $x,y\in \mathbb {R}$ warunkiem $x\sim y\iff x=y\lor x,y\in \mathbf {Z} .$

Zobacz też

Uwagi

↑ Tj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych.
↑ Tzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy.
↑ W innym ujęciu: grupa $\mathbb {Z}$ działa na grupie $\mathbb {R}$ poprzez przesunięcia.
↑ Niech $g\colon \mathbb {R} \to {\mathcal {S}}^{1}$ będzie dane wzorem $t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t).$ Ponieważ $g(a)=g(b)\iff a\sim b$ oraz $\pi [[0,1]]=\mathbb {R} /_{\backsim },$ to odwzorowanie $f\colon \mathbb {R} /_{\backsim }\to {\mathcal {S}}^{1}$ dane wzorem $\pi (x)=[x]_{\backsim }\mapsto g(x)$ jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie $g$ można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział $(a,a+1]$ „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg).

Przypisy

↑ Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continuous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414–428.
↑ Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555–571.

Bibliografia

S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.
Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122–123.

[1] Tj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych.

[2] Tzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy.

[5] W innym ujęciu: grupa $\mathbb {Z}$ działa na grupie $\mathbb {R}$ poprzez przesunięcia.

[6] Niech $g\colon \mathbb {R} \to {\mathcal {S}}^{1}$ będzie dane wzorem $t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t).$ Ponieważ $g(a)=g(b)\iff a\sim b$ oraz $\pi [[0,1]]=\mathbb {R} /_{\backsim },$ to odwzorowanie $f\colon \mathbb {R} /_{\backsim }\to {\mathcal {S}}^{1}$ dane wzorem $\pi (x)=[x]_{\backsim }\mapsto g(x)$ jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie $g$ można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział $(a,a+1]$ „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg).

[3] Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continuous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414–428.

[4] Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555–571.

[a]

[b]

[1]

[2]

[c]

[d]